Grant Sanderson – AIと数学の未来

数学の分野においてAIが最も急速な進歩を遂げている。この事実は、他のあらゆる領域におけるAIの進歩がどのような姿をとるかを、具体的に示す前兆となる。本エピソードでは、数学教育チャンネル「3Blue1Brown」を運営するGrant Sandersonが、数学におけるAIの「尖ったフロンティア」の実態、概念的ブレークスルーの性質、そしてAIが数学者の役割や学習のあり方をどう変えるのかについて、ホストのDwarkesh Patelと深く掘り下げた対話を行った。

対話は、3年前にPatelがSandersonに投げかけた「AIが国際数学オリンピックで金メダルを取ったら、それはAGI（汎用人工知能）ではないのか」という問いを再訪することから始まる。Sandersonは当時、それは単なる「もう一つのベンチマーク」に過ぎないと予測し、その予測は的中した。しかし、現在AIがミレニアム懸賞問題を解く段階に近づくにつれ、議論はより複雑な様相を帯びる。数学の進歩には「山を築く」タイプと「稲妻を走らせる」タイプがあり、AIがどちらの方法で問題を解くかによって、その能力の汎用性や人間の理解への影響が大きく異なるというのが、本エピソードの核心的な洞察である。

0:00AIの数学における進歩と「尖ったフロンティア」の実態

AIは数学において他のどの分野よりも速い進歩を遂げている。しかしSandersonは、この進歩の性質は一様ではなく、極めて「尖った」ものであると指摘する。数学の中にも得意不得意が明確に存在し、そのフロンティアはフラクタル状に細分化されている。例えば、国際数学オリンピック（IMO）において、AIは幾何学の問題を2024年にはわずか19秒で解くことができる。これは事実上、力任せの解法（brute force solver）が機能する領域だからだ。しかし、同じIMOの中でも組合せ論（combinatorics）の問題は全く異なる。これはより遊び心があり、パズル的な性質を持つ問題であり、AIはここで顕著に苦戦する。2024年のIMOでは幾何学の問題が2問出題されていればAIは金メダルを獲得できたが、実際には組合せ論が2問出題されたため、金メダルを逃した。

この「尖ったフロンティア」の存在は、AIの能力を評価する上で極めて重要である。Sandersonは、数学におけるAIの進歩が他の分野の進歩を予見させる理由は、数学が「検証可能性」と「粉砕可能性（grindability）」という二つの特性を備えているからだと説明する。コードと同様に、数学の証明は正しいか間違っているかを明確に判定できる。さらに重要なのは、数学の問題解決は「粉砕可能」であるという点だ。つまり、同じ問題に対して何千もの並列的な試行を実行し、成功と失敗の差分から学習することができる。これは、現実世界のタスク、例えばEtsyの配送状況を確認するような「コンピュータ使用」タスクとは根本的に異なる。後者はウェブサイトのボット検出や、環境の非決定性によって、大規模な並列試行が事実上不可能だからだ。

11:32概念的ブレークスルーの検証ループ——100年単位の評価

数学における真に偉大な貢献は、特定の問題を解くことではなく、新しい概念や定義を生み出すことにある。Sandersonは、この点をガロア理論の歴史を例に鮮やかに描き出す。五次方程式の解の公式が存在しないことの証明を巡る物語は、アイデアの価値が認識されるまでにいかに長い時間がかかるかを示している。

ラグランジュは、方程式の可解性が根の対称性と深く関連しているという直感を持っていた。しかし彼は問題を解いたわけではなく、単に「正しい問い」を投げかけたに過ぎなかった。その後、アーベルは五次方程式が一般には解けないことを証明したが、彼の証明は新しい理論を生み出すものではなかった。そしてガロアが登場する。彼は十代で獄中にいながら、対称性の概念を抽象化し、今日「群」と呼ばれる数学的構造の基礎を築いた。しかし彼の論文は当時のアカデミーに拒絶され、彼が決闘で命を落とした後も、その価値はすぐには認められなかった。

ガロアのノートが再発見され、現代的な群論の形に整えられるまでには、リウヴィルやジョルダンといった数学者による数十年の努力が必要だった。そして群論が暗号理論や素粒子物理学（ゲルマンが群論的な考察からクォークの存在を予言した）に応用されるのは、さらに数十年後の20世紀に入ってからである。Sandersonは、この「検証ループ」の長さを100年単位と表現する。AIが新しい概念を生み出したとしても、その真の価値を評価する仕組みをどう設計するかは、極めて困難な課題である。なぜなら、その検証には問題解決とは異なる、長期的な視点と人間の判断が必要だからだ。

26:12AIによるリーマン予想の証明——人間は理解できるのか

AIがリーマン予想を証明した場合、人間はその証明を理解できるのか。Sandersonは、この問いに対する答えは証明の「性質」に依存すると論じる。彼は三つのシナリオを提示する。第一に、異なる分野の専門知識を「稲妻」のように結びつけるタイプの証明である。これは、モンゴメリーとダイソンが偶然の会話からリーマンゼータ関数の零点とランダム行列理論の関連性を発見した故事に象徴される。AIが両方の分野に精通していれば、このような「稲妻」を人間よりも容易に発見できる可能性がある。このタイプの証明は、人間にとって比較的理解しやすい。

第二に、「山を築く」タイプの証明である。これはフェルマーの最終定理の解決に似ている。問題の定式化は単純だが、その解決には楕円曲線とモジュラー形式という二つの巨大な数学の「山」を築き、それらを結びつける必要があった。このタイプの証明は、全く新しい理論の構築を伴うため、人間が理解するには膨大な努力が必要となる。第三に、単純な「力仕事」による証明である。数千ページに及ぶ、新しい理論を伴わない長大な証明である。これは人間にとって最も理解が困難であり、消化に時間がかかる。

Sandersonは、ABC予想に対する望月新一の試み（宇宙際タイヒミュラー理論）を、この「山を築く」タイプの例として挙げる。その理論は非常に異質で、数学界がそれを理解し検証するには長い時間を要した（そして現在も議論が続いている）。AIが同様の「異質な山」を築いた場合、人間の数学者はその理解に何年も費やすことになるかもしれない。重要なのは、証明と説明は異なるという点である。Timothy Chowが提唱した「未解決の解説問題」という概念は、証明されていても理解されていない数学が存在することを示している。AIの時代においては、証明を生成する能力と、それを人間が理解できる形に圧縮・説明する能力は、別物として評価されるべきである。

38:08分野間の「隠れた橋」を発見するAIの可能性

Sandersonは、AIの最も有望な応用の一つは、数学の異なる分野間にある「隠れた橋」を体系的に発見することだと指摘する。ラングランズ・プログラムは、このような分野横断的な接続を探求する研究の精神そのものである。フェルマーの最終定理の解決が示したように、一見無関係に見える分野の接続が、長年未解決だった問題を解決する鍵となることがある。AIは、人間の数学者よりもはるかに広範な分野に精通しているため、このような接続を発見する潜在能力を秘めている。

しかし、この能力を引き出すには技術的な課題がある。Sandersonは、現在のAIの推論方法である「自己回帰的（autoregressive）連鎖思考」が、この種の「稲妻」を発生させるのに本質的に不向きである可能性を指摘する。自己回帰モデルは、与えられた文脈から最も確率の高い次のトークンを予測するように設計されている。しかし、異分野間の「ありそうもない接続」は、まさに確率が低いがゆえに発見が難しい。Sandersonは、この問題を「箱に閉じ込められた人間」の比喩で説明する。もしあなたが箱に閉じ込められ、紙切れを受け取って次に来る単語を予測するだけの作業を繰り返したとしたら、あなたが書く文章は、全体を構想して書く場合とは全く異なるものになるだろう。AIも同様に、文脈の奴隷となり、予測可能な範囲内での思考に留まりがちである。

この課題を克服する方法として、Patelは「環境の設計」の重要性を強調する。例えば、異なる分野の接続を必要とするように設計された「FrontierMath」のようなベンチマークを作成することで、AIにその能力を獲得するインセンティブを与えることができる。また、Sandersonは、AIの並列性という利点にも注目する。人間の天才は一人で数個の「稲妻」を発見して死ぬかもしれないが、AIは無数のコピーを並列的に実行し、体系的に異なるアプローチを試すことができる。例えば、ある問題に対して「証明しようとするエージェント」と「反証しようとするエージェント」を同時に走らせ、異なるバイアスやヒューリスティックを体系的に探索することが可能である。これは、アインシュタインが「相対性」というバイアスを持っていたからこそ特殊相対性理論に到達したように、特定のヒューリスティックが科学的ブレークスルーを生むという歴史的教訓を、AIの文脈で組織的に活用する方法である。

53:48現実世界のタスクがRL環境に適合しない理由——「粉砕可能性」の重要性

AIが数学とプログラミングで急速に進歩している一方で、他の多くの分野では進歩が遅い。その理由を、Patelは「検証可能性」だけでなく「粉砕可能性（grindability）」という概念で説明する。数学とコードは、問題をコンテナ化し、何千もの並列的な試行を実行することができる。コードであれば、特定の機能の実装を試みるエージェントを何百ものコンテナで並列実行し、成功したものと失敗したものの差分（diff）を分析することで、クレジット代入問題（どの行動が成功に寄与したか）を容易に解決できる。

しかし、現実世界のタスク、例えばEコマースのチェックアウトフローを自動化するような「コンピュータ使用」タスクは、この「粉砕可能性」を欠いている。ウェブサイトにはボット検出機能があり、同じフローを何千回も並列実行することは事実上不可能である。また、現実世界の状態は毎日変化するため、同じ環境を何度も「リプレイ」して学習することができない。このため、サンプル効率（少ない試行から学習する能力）が低い現在の深層学習の枠組みでは、現実世界のタスクの学習は極めて困難である。

さらに、SandersonはLeanのような形式証明システムの重要性について、一般的に言われるよりも慎重な評価を下す。確かにLeanは、証明の各ステップが正しいことを自動的に検証できるため、AIが完全に自律的に数学を探求する「ツリー」を成長させることを可能にする。これは、囲碁のAlphaGoが自己対局だけで強くなったのと類似したシナリオである。しかし、現在のAIの進歩（例えば単位距離予想の反例発見）は、自然言語による思考連鎖（chain-of-thought）を用いて達成されており、Leanは必須ではなかった。Sandersonは、Leanの真の価値は、AIが生成した証明の「正しさ」を保証する「グリーンチェックマーク」を提供できる点にあると指摘する。数学者は、AIが生成した証明が正しいと保証されていれば、その内容の理解に集中できる。これは、証明の検証に膨大な時間を費やさなければならない他の科学分野にはない、数学独自の強みである。

1:07:07優れた文章には「心の理論」が必要——AIが苦手とする理由

AIは数学やコードでは驚異的な進歩を遂げているが、文章作成においては依然として苦戦している。Sandersonは、その理由を「心の理論（theory of mind）」の欠如に求める。優れた文章を書くためには、読み手の心の中で何が起こっているかを常に想像し、一文一文が読み手の理解にどう影響するかを考慮する必要がある。これは、単に次の単語の確率を予測する自己回帰モデルにとっては極めて困難なタスクである。

Sandersonは、この問題を理解するための興味深い実験を紹介する。ボトックス注射を受けた人は、他人の表情を読む能力が低下するという研究がある。これは、私たちが他人の表情を理解する際に、無意識に自分の顔の筋肉でその表情を模倣しているからだと考えられている。AIには顔の筋肉も身体もなく、人間とは全く異なる「脳」を持っている。したがって、AIが真の意味で「共感」したり、人間の心の状態をシミュレートしたりすることが難しいのは、むしろ当然かもしれない。

Patelは、この「心の理論」の欠如が、AIが良い間隔反復（spaced repetition）用のフラッシュカードを作成できないという具体的な問題に現れていると指摘する。Andy Matuschakらの研究によれば、良いフラッシュカードを作成するには、「3ヶ月後の学習者の心はどうなっているか」を予測し、どのような質問がその知識を効果的に呼び起こすかを設計する必要がある。これはまさに「心の理論」を必要とする作業であり、現在のAIには極めて難しい。また、AIは「良い解説者」ではあっても「良い著者」ではない。既存の知識を明確に説明することはできても、読者が予想もしないような洞察や、意図的に予測不可能な展開を織り込むことが苦手である。真に価値のある文章は、単なる知識の蒸留ではなく、著者の探求と選択の結果生まれるものだからだ。

1:16:02学習における人間のキュレーションの価値——AI時代の教育

AIが学習ツールとしてますます普及する中で、Sandersonは「誰が教えるか」が「何を教えるか」よりも重要であるという自身の信念を語る。AIによる説明は、Wikipediaの記事に似ている。どちらも驚くほど便利で、幅広い知識を提供するが、真に優れた解説には及ばない。Wikipediaの記事は、多数の編集者による「局所的な最小値」であり、すべての文が正しいことが優先されるため、動機付けや物語性が犠牲になりがちである。一方、優れた教科書や解説記事は、一人の著者が意図的に「途中で少し間違ったことを言い、後で修正する」という手法を用いて、読者を導くことができる。

Sandersonは、AIを学習に活用する最善の方法は、人間が作成した優れた「アーティファクト」（本、記事、動画）を中心に据え、AIをその周辺知識の「剪定」に使うことだと提案する。例えば、Steven Strogatzのカオス理論の教科書を読みながら、その講義ビデオを視聴し、理解が曖昧な点をAIに質問するという方法である。この方法の利点は、人間の著者が提供する「概念の正しい順序」と「問題の動機付け」という枠組みを活用できる点にある。AIは、この枠組みを自ら構築することは苦手だが、既存の枠組みの中で質問に答えることは得意である。

将来の数学者を目指す学生へのアドバイスとして、Sandersonは「お金がどこから来ているのかを理解せよ」と語る。数学者の収入源は、大学のブランド価値、NSFの助成金、授業料など様々である。AIが定理証明を自動化したとしても、教育の価値は変わらない。むしろ、教育は本質的に関係性に基づくものであり、AIがどれだけ優れた説明者になっても、人間の教師の役割は残り続けるとSandersonは予測する。さらに、AIが数学のフロンティアを人間の理解を超えて拡大した世界では、AIが発見した知識を「キュレーション」し、人間にわかりやすく「蒸留」する役割が、数学者の新たな重要な仕事になるだろう。これは、美術館のキュレーターが作品を選び、解説する役割に類似している。

結びに

本エピソードが聴き手に残すものは、AIの進歩に対する楽観と慎重さの間にある微妙なバランスである。Sandersonは、AIが数学において驚異的な進歩を遂げていることを認めつつも、その進歩の性質は「尖って」おり、真に偉大な数学的貢献である「新しい定義の創造」や「分野間の架橋」には、現在のAIパラダイムでは到達が難しい可能性があると指摘する。しかし同時に、AIの並列性と「粉砕可能性」を活用した体系的な探索は、人間の数学者には不可能な規模で新しい知見を生み出す可能性を秘めている。

このエピソードが重要な理由は、数学という最も「検証可能」で「粉砕可能」な領域におけるAIの進歩を詳細に分析することで、他のすべての分野におけるAIの未来を予見するための枠組みを提供している点にある。AIが「稲妻」のような接続を発見するのか、「山」のような新しい理論を構築するのか、あるいは単純な「力仕事」で問題を解くのかによって、その影響は大きく異なる。そして、どのような場合でも、人間の役割は「問題を解くこと」から「何を解く価値があるかを判断すること」、そして「AIの成果を理解し、伝えること」へとシフトしていくだろう。数学は、AIと人間の協働の未来を考える上での完璧な実験場なのである。